A geometric model for the module category of a gentle algebra
Karin Baur and Raquel Coelho Simões
Abstract
In this article, gentle algebras are realised as tiling algebras, which are associated to partial triangulations of unpunctured surfaces with marked points on the boundary. This notion of tiling algebras generalise the notion of Jacobian algebras of triangulations of surfaces and the notion of surface algebras. We use this description to give a geometric model of the module category of any gentle algebra.
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温和代数（gentle algebra）是表示论中一类重要的有限维代数，但此前缺乏统一的几何框架来描述它们的模范畴。本文证明，每个温和代数都同构于一个"铺砖代数"（tiling algebra）——即由带边界标记点的无穿孔曲面上的部分三角剖分所诱导的代数，从而将这类代数完全几何化。基于这一刻画，作者构造了任意温和代数模范畴的几何模型：不可分解弦模与曲面上称为"容许弧"的弧一一对应，带模对应容许闭曲线，不可分解模之间的不可约态射则对应弧的特定移动操作。这一结果将散落在丛理论、Fukaya范畴等领域的零散几何直觉统一到同一框架下，为研究温和代数的扭对分类、导出等价等表示论问题提供了有力的几何工具。
原文 arXiv:1803.05802;中英对照 + 大白话阅读 https://aha.fim.ai/paper/1803.05802v1