Flat surfaces and stability structures
F. Haiden, L. Katzarkov, M. Kontsevich
Abstract
We identify spaces of half-translation surfaces, equivalently complex curves with quadratic differential, with spaces of stability structures on Fukaya-type categories of punctured surfaces. This is achieved by new methods involving the complete classification of objects in these categories, which are defined in an elementary way. We also introduce a number of tools to deal with surfaces of infinite area, where structures similar to those in cluster algebra appear.
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带奇点平坦曲面（即配备二次微分的复曲线，也称"半平移曲面"）的模空间与某类三角范畴的稳定性结构（stability conditions）空间之间存在深刻联系，但如何在数学上严格建立这一对应一直是悬而未决的问题。本文通过对带穿孔曲面的 Fukaya 型范畴给出一套初等而自洽的定义，并完整分类了该范畴中的所有对象（证明它们均可用曲面上的浸入曲线加局部系数来描述），从而构造出从标记平坦结构模空间到稳定性结构空间的自然双解析映射。对于面积无穷的平坦曲面，文章还引入了"核"（core）的概念，并揭示其壁穿越结构与丛代数（cluster algebra）中的mutation高度相似。这一结果不仅为物理学中 D-膜稳定性的数学框架提供了几何实现，也为理解 Fukaya 范畴、稳定性流形与模空间之间的内在联系奠定了严格基础。
原文 arXiv:1409.8611;中英对照 + 大白话阅读 https://aha.fim.ai/paper/1409.8611v2