Singularity categories of gentle algebras
Martin Kalck Martin Kalck, The Maxwell Institute, School of Mathematics, James Clerk Maxwell Building, The King’s Buildings, Mayfield Road, Edinburgh, EH9 3JZ, UK.
Abstract
We determine the singularity category of an arbitrary finite dimensional gentle algebra $\Lambda$ . It is a finite product of $n$ -cluster categories of type $\mathbb{A}_{1}$ . Equivalently, it may be described as the stable module category of a selfinjective gentle algebra. If $\Lambda$ is a Jacobian algebra arising from a triangulation ${\mathcal{T}}$ of an unpunctured marked Riemann surface, then the number of factors equals the number of inner triangles of ${\mathcal{T}}$ .
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温和代数（gentle algebra）是一类有限维代数，广泛出现在代数几何、曲面三角剖分和簇倾斜理论中，但其奇点范畴（singularity category）此前并不清楚。作者证明了任意有限维温和代数的奇点范畴等价于若干个 $\mathbb{A}_1$ 型 $n$-簇范畴的乘积，也可以等价地描述为某个自内射温和代数的稳定模范畴；证明的核心是结合 Buchweitz 等价与温和代数不可分解模（弦模与带模）的显式分类，精确刻画出哪些弦模是 Gorenstein 投射模，并说明它们之间的非平凡态射都穿过投射模而在稳定范畴中消失。对于来自无穿孔黎曼曲面三角剖分的 Jacobian 代数，奇点范畴的直因子个数恰好等于三角剖分中内部三角形的数目，从而给出了一个清晰的几何解释。这一结果不仅统一并推广了关于温和代数导出不变量的已有工作，还为研究更广泛的几何奇点（如射影直线链）提供了代数工具。
原文 arXiv:1207.6941;中英对照 + 大白话阅读 https://aha.fim.ai/paper/1207.6941v3