Singular equivalences of trivial extensions
Xiao-Wu Chen
Abstract
We prove that a certain pair of bimodules over two artin algebras gives rise to a triangle equivalence between the singularity categories of the two corresponding trivial extension algebras. Some consequences and an example are given.
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平时我们用"奇点范畴"（singularity category）来衡量一个代数的同调奇异性，全局维数有限的代数奇点范畴为零，而奇点范畴等价（singular equivalence）比导出等价更粗但也更灵活，能捕捉两个代数在奇异性上的共同特征。这篇文章的核心贡献是：给定两个全局维数有限的 artin 代数 $A$ 与 $B$，以及一对双模 $X$（$A$-$B$-双模）和 $Y$（$B$-$A$-双模），只要 $X$ 作为右 $B$-模是投射的、$Y$ 作为右 $A$-模也是投射的，就能在对应的平凡扩张代数 $\widetilde{A}=A\oplus(X\otimes_B Y)$ 与 $\widetilde{B}=B\oplus(Y\otimes_A X)$ 之间构造出一个三角等价，即两者的奇点范畴等价。作者进一步将这一结论应用于"调制对"（modulation pair）的强移位等价框架，证明只要两个调制对经过一系列初等等价相连，它们对应的平凡扩张代数就具有奇点范畴等价，从而将符号动力系统中 Williams 的强移位等价思想与代数的同调奇异性理论联系起来，也为 Leavitt 路代数的相关研究提供了新视角。
原文 arXiv:1110.5955;中英对照 + 大白话阅读 https://aha.fim.ai/paper/1110.5955v1